重要性

复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

1. 测试结果非常依赖测试环境

2. 测试结果受数据规模的影响很大

我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。

大 O 复杂度表示法

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int cal(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i <= n; ++i) {
    sum = sum + i;
  }
  return sum;
}

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2nunit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。

$T(n) = O(f(n))$

这就是大 O 时间复杂度表示法，大 O 时间复杂度实际上并不具体代表代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以也叫做 渐进时间复杂度，简称 时间复杂度。

分析时间复杂度

1. 只关注循环执行次数最多的一点代码

   我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

时间复杂度实例分析

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是 渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

复杂度种类

1. 最好情况时间复杂度

   最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

2. 最坏情况时间复杂度

   最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

3. 平均情况时间复杂度

4. 均摊时间复杂度

例子：

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// 全局变量，大小为 10 的数组 array，长度 len，下标 i。
int array[] = new int[10]; 
int len = 10;
int i = 0;

// 往数组中添加一个元素
void add(int element) {
   if (i >= len) { // 数组空间不够了
     // 重新申请一个 2 倍大小的数组空间
     int new_array[] = new int[len*2];
     // 把原来 array 数组中的数据依次 copy 到 new_array
     for (int j = 0; j < len; ++j) {
       new_array[j] = array[j];
     }
     // new_array 复制给 array，array 现在大小就是 2 倍 len 了
     array = new_array;
     len = 2 * len;
   }
   // 将 element 放到下标为 i 的位置，下标 i 加一
   array[i] = element;
   ++i;
}

最好 $O(1)$，最坏 $O(n)$，平均 $O(n)$，均摊 $O(1)$

参考自极客时间